\(\int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [279]

Optimal result

Integrand size = 31, antiderivative size = 420 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {b \left (20 a^6 A b-35 a^4 A b^3+28 a^2 A b^5-8 A b^7-8 a^7 B+8 a^5 b^2 B-7 a^3 b^4 B+2 a b^6 B\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (6 a^6 A-65 a^4 A b^2+68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

b*(20*A*a^6*b-35*A*a^4*b^3+28*A*a^2*b^5-8*A*b^7-8*B*a^7+8*B*a^5*b^2-7*B*a^3*b^4+2*B*a*b^6)*arctan((a-b)^(1/2)*
tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^5/(a-b)^(7/2)/(a+b)^(7/2)/d-(4*A*b-B*a)*arctanh(sin(d*x+c))/a^5/d+1/6*(6*A*a
^6-65*A*a^4*b^2+68*A*a^2*b^4-24*A*b^6+26*B*a^5*b-17*B*a^3*b^3+6*B*a*b^5)*tan(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^3/d+1/3*b*(A
*b-B*a)*tan(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^3+1/6*b*(9*A*a^2*b-4*A*b^3-6*B*a^3+B*a*b^2)*tan(d*x+c)/a^2/(
a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))^2+1/2*b*(12*A*a^4*b-11*A*a^2*b^3+4*A*b^5-6*B*a^5+2*B*a^3*b^2-B*a*b^4)*tan(d*x+c)
/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 6.10 (sec) , antiderivative size = 420, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.194, Rules used = {3079, 3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (-6 a^3 B+9 a^2 A b+a b^2 B-4 A b^3\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (-6 a^5 B+12 a^4 A b+2 a^3 b^2 B-11 a^2 A b^3-a b^4 B+4 A b^5\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (6 a^6 A+26 a^5 b B-65 a^4 A b^2-17 a^3 b^3 B+68 a^2 A b^4+6 a b^5 B-24 A b^6\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^3}+\frac {b \left (-8 a^7 B+20 a^6 A b+8 a^5 b^2 B-35 a^4 A b^3-7 a^3 b^4 B+28 a^2 A b^5+2 a b^6 B-8 A b^7\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}} \]

[In]

Int[((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(b*(20*a^6*A*b - 35*a^4*A*b^3 + 28*a^2*A*b^5 - 8*A*b^7 - 8*a^7*B + 8*a^5*b^2*B - 7*a^3*b^4*B + 2*a*b^6*B)*ArcT
an[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((4*A*b - a*B)*ArcTanh[S
in[c + d*x]])/(a^5*d) + ((6*a^6*A - 65*a^4*A*b^2 + 68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + 26*a^5*b*B - 17*a^3*b^3*B + 6*a*b
^5*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(A*b - a*B)*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d
*x])^3) + (b*(9*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 6*a^3*B + a*b^2*B)*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x
])^2) + (b*(12*a^4*A*b - 11*a^2*A*b^3 + 4*A*b^5 - 6*a^5*B + 2*a^3*b^2*B - a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 -
b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3079

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c +
d*Sin[e + f*x])^(1 + n)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), I
nt[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(a*A - b*B)*(b*c - a*d)*(m + 1) + b*d*(A*b - a*B)*
(m + n + 2) + (A*b - a*B)*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^
2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
d^2, 0] && RationalQ[m] && m < -1 && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n
, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\int \frac {\left (3 a^2 A-4 A b^2+a b B-3 a (A b-a B) \cos (c+d x)+3 b (A b-a B) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (6 a^4 A-23 a^2 A b^2+12 A b^4+8 a^3 b B-3 a b^3 B-2 a \left (6 a^2 A b-A b^3-3 a^3 B-2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x)+2 b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (6 a^6 A-65 a^4 A b^2+68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B-a \left (18 a^4 A b-7 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B-8 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \cos (c+d x)+3 b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (6 a^6 A-65 a^4 A b^2+68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-6 \left (a^2-b^2\right )^3 (4 A b-a B)+3 a b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (6 a^6 A-65 a^4 A b^2+68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {(4 A b-a B) \int \sec (c+d x) \, dx}{a^5}+\frac {\left (b \left (20 a^6 A b-35 a^4 A b^3+28 a^2 A b^5-8 A b^7-8 a^7 B+8 a^5 b^2 B-7 a^3 b^4 B+2 a b^6 B\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (6 a^6 A-65 a^4 A b^2+68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (b \left (20 a^6 A b-35 a^4 A b^3+28 a^2 A b^5-8 A b^7-8 a^7 B+8 a^5 b^2 B-7 a^3 b^4 B+2 a b^6 B\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {b \left (20 a^6 A b-35 a^4 A b^3+28 a^2 A b^5-8 A b^7-8 a^7 B+8 a^5 b^2 B-7 a^3 b^4 B+2 a b^6 B\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (6 a^6 A-65 a^4 A b^2+68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {b \left (9 a^2 A b-4 A b^3-6 a^3 B+a b^2 B\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (12 a^4 A b-11 a^2 A b^3+4 A b^5-6 a^5 B+2 a^3 b^2 B-a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 2.97 (sec) , antiderivative size = 549, normalized size of antiderivative = 1.31 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {-\frac {48 b \left (-20 a^6 A b+35 a^4 A b^3-28 a^2 A b^5+8 A b^7+8 a^7 B-8 a^5 b^2 B+7 a^3 b^4 B-2 a b^6 B\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2\right )^{7/2}}+48 (4 A b-a B) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+48 (-4 A b+a B) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {2 a \left (24 a^9 A-36 a^7 A b^2-246 a^5 A b^4+318 a^3 A b^6-120 a A b^8+120 a^6 b^3 B-90 a^4 b^5 B+30 a^2 b^7 B+b \left (72 a^8 A-438 a^6 A b^2+305 a^4 A b^4+28 a^2 A b^6-72 A b^8+144 a^7 b B-50 a^5 b^3 B-7 a^3 b^5 B+18 a b^7 B\right ) \cos (c+d x)+6 a b^2 \left (6 a^6 A-53 a^4 A b^2+57 a^2 A b^4-20 A b^6+20 a^5 b B-15 a^3 b^3 B+5 a b^5 B\right ) \cos (2 (c+d x))+6 a^6 A b^3 \cos (3 (c+d x))-65 a^4 A b^5 \cos (3 (c+d x))+68 a^2 A b^7 \cos (3 (c+d x))-24 A b^9 \cos (3 (c+d x))+26 a^5 b^4 B \cos (3 (c+d x))-17 a^3 b^6 B \cos (3 (c+d x))+6 a b^8 B \cos (3 (c+d x))\right ) \tan (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))^3}}{48 a^5 d} \]

[In]

Integrate[((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

((-48*b*(-20*a^6*A*b + 35*a^4*A*b^3 - 28*a^2*A*b^5 + 8*A*b^7 + 8*a^7*B - 8*a^5*b^2*B + 7*a^3*b^4*B - 2*a*b^6*B
)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(7/2) + 48*(4*A*b - a*B)*Log[Cos[(c + d*x
)/2] - Sin[(c + d*x)/2]] + 48*(-4*A*b + a*B)*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] + (2*a*(24*a^9*A - 36*a^
7*A*b^2 - 246*a^5*A*b^4 + 318*a^3*A*b^6 - 120*a*A*b^8 + 120*a^6*b^3*B - 90*a^4*b^5*B + 30*a^2*b^7*B + b*(72*a^
8*A - 438*a^6*A*b^2 + 305*a^4*A*b^4 + 28*a^2*A*b^6 - 72*A*b^8 + 144*a^7*b*B - 50*a^5*b^3*B - 7*a^3*b^5*B + 18*
a*b^7*B)*Cos[c + d*x] + 6*a*b^2*(6*a^6*A - 53*a^4*A*b^2 + 57*a^2*A*b^4 - 20*A*b^6 + 20*a^5*b*B - 15*a^3*b^3*B
+ 5*a*b^5*B)*Cos[2*(c + d*x)] + 6*a^6*A*b^3*Cos[3*(c + d*x)] - 65*a^4*A*b^5*Cos[3*(c + d*x)] + 68*a^2*A*b^7*Co
s[3*(c + d*x)] - 24*A*b^9*Cos[3*(c + d*x)] + 26*a^5*b^4*B*Cos[3*(c + d*x)] - 17*a^3*b^6*B*Cos[3*(c + d*x)] + 6
*a*b^8*B*Cos[3*(c + d*x)])*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3))/(48*a^5*d)

Maple [A] (verified)

Time = 3.30 (sec) , antiderivative size = 587, normalized size of antiderivative = 1.40

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (-4 A b +B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{5}}+\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (20 A \,a^{4} b +5 A \,a^{3} b^{2}-18 A \,a^{2} b^{3}-2 A a \,b^{4}+6 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}-4 B \,a^{4} b +6 B \,a^{3} b^{2}+B \,a^{2} b^{3}-2 B a \,b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (30 A \,a^{4} b -29 A \,a^{2} b^{3}+9 A \,b^{5}-18 B \,a^{5}+11 B \,a^{3} b^{2}-3 B a \,b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b -5 A \,a^{3} b^{2}-18 A \,a^{2} b^{3}+2 A a \,b^{4}+6 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}+4 B \,a^{4} b +6 B \,a^{3} b^{2}-B \,a^{2} b^{3}-2 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (20 A \,a^{6} b -35 A \,a^{4} b^{3}+28 A \,a^{2} b^{5}-8 A \,b^{7}-8 B \,a^{7}+8 B \,a^{5} b^{2}-7 B \,a^{3} b^{4}+2 B a \,b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{5}}-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (4 A b -B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(587\)
default	\(\frac {-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (-4 A b +B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{5}}+\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (20 A \,a^{4} b +5 A \,a^{3} b^{2}-18 A \,a^{2} b^{3}-2 A a \,b^{4}+6 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}-4 B \,a^{4} b +6 B \,a^{3} b^{2}+B \,a^{2} b^{3}-2 B a \,b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (30 A \,a^{4} b -29 A \,a^{2} b^{3}+9 A \,b^{5}-18 B \,a^{5}+11 B \,a^{3} b^{2}-3 B a \,b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b -5 A \,a^{3} b^{2}-18 A \,a^{2} b^{3}+2 A a \,b^{4}+6 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}+4 B \,a^{4} b +6 B \,a^{3} b^{2}-B \,a^{2} b^{3}-2 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (20 A \,a^{6} b -35 A \,a^{4} b^{3}+28 A \,a^{2} b^{5}-8 A \,b^{7}-8 B \,a^{7}+8 B \,a^{5} b^{2}-7 B \,a^{3} b^{4}+2 B a \,b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{5}}-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (4 A b -B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(587\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2577\)

[In]

int((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^2/(a+cos(d*x+c)*b)^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/a^5*(-4*A*b+B*a)*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+2*b/a^5*((-1/2*(20*A*a^4*b+5*A*
a^3*b^2-18*A*a^2*b^3-2*A*a*b^4+6*A*b^5-12*B*a^5-4*B*a^4*b+6*B*a^3*b^2+B*a^2*b^3-2*B*a*b^4)*a*b/(a-b)/(a^3+3*a^
2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5-2/3*(30*A*a^4*b-29*A*a^2*b^3+9*A*b^5-18*B*a^5+11*B*a^3*b^2-3*B*a*b^4)*a*
b/(a^2+2*a*b+b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*(20*A*a^4*b-5*A*a^3*b^2-18*A*a^2*b^3+2*A*a*b^4+6*A*
b^5-12*B*a^5+4*B*a^4*b+6*B*a^3*b^2-B*a^2*b^3-2*B*a*b^4)*a*b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)
)/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^3+1/2*(20*A*a^6*b-35*A*a^4*b^3+28*A*a^2*b^5-8*A*b^7-8*B*
a^7+8*B*a^5*b^2-7*B*a^3*b^4+2*B*a*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*
d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))-A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+(4*A*b-B*a)/a^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1662 vs. \(2 (402) = 804\).

Time = 76.71 (sec) , antiderivative size = 3393, normalized size of antiderivative = 8.08 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(3*((8*B*a^7*b^4 - 20*A*a^6*b^5 - 8*B*a^5*b^6 + 35*A*a^4*b^7 + 7*B*a^3*b^8 - 28*A*a^2*b^9 - 2*B*a*b^10 +
8*A*b^11)*cos(d*x + c)^4 + 3*(8*B*a^8*b^3 - 20*A*a^7*b^4 - 8*B*a^6*b^5 + 35*A*a^5*b^6 + 7*B*a^4*b^7 - 28*A*a^
3*b^8 - 2*B*a^2*b^9 + 8*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(8*B*a^9*b^2 - 20*A*a^8*b^3 - 8*B*a^7*b^4 + 35*A*a^6*b^5
+ 7*B*a^5*b^6 - 28*A*a^4*b^7 - 2*B*a^3*b^8 + 8*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (8*B*a^10*b - 20*A*a^9*b^2 - 8*B*a^
8*b^3 + 35*A*a^7*b^4 + 7*B*a^6*b^5 - 28*A*a^5*b^6 - 2*B*a^4*b^7 + 8*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*
log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c)
- a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) + 6*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5 +
16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)^4
+ 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*A*a
^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4 + 6
*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12 -
4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*b^8
- 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) - 6*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5 + 16*A*a^6*b^6
+ 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(B*a^10*
b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*A*a^3*b^9 + B*a
^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4 + 6*B*a^7*b^5 -
24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12 - 4*A*a^11*b -
4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*b^8 - 4*A*a^3*b
^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) + 2*(6*A*a^12 - 24*A*a^10*b^2 + 36*A*a^8*b^4 - 24*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4
*b^8 + (6*A*a^9*b^3 + 26*B*a^8*b^4 - 71*A*a^7*b^5 - 43*B*a^6*b^6 + 133*A*a^5*b^7 + 23*B*a^4*b^8 - 92*A*a^3*b^9
- 6*B*a^2*b^10 + 24*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(6*A*a^10*b^2 + 20*B*a^9*b^3 - 59*A*a^8*b^4 - 35*B*a^7*b^5 +
110*A*a^6*b^6 + 20*B*a^5*b^7 - 77*A*a^4*b^8 - 5*B*a^3*b^9 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (18*A*a^11*b + 36
*B*a^10*b^2 - 132*A*a^9*b^3 - 68*B*a^8*b^4 + 239*A*a^7*b^5 + 43*B*a^6*b^6 - 169*A*a^5*b^7 - 11*B*a^4*b^8 + 44*
A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13*b^3 - 4*a^11*b^5 + 6*a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + a^5*b^11)*d*cos(d*x +
c)^4 + 3*(a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + a^6*b^10)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^15*b - 4*a^13*b^
3 + 6*a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + a^7*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^16 - 4*a^14*b^2 + 6*a^12*b^4 - 4*a^10*b^6 + a^8*b^
8)*d*cos(d*x + c)), -1/6*(3*((8*B*a^7*b^4 - 20*A*a^6*b^5 - 8*B*a^5*b^6 + 35*A*a^4*b^7 + 7*B*a^3*b^8 - 28*A*a^2
*b^9 - 2*B*a*b^10 + 8*A*b^11)*cos(d*x + c)^4 + 3*(8*B*a^8*b^3 - 20*A*a^7*b^4 - 8*B*a^6*b^5 + 35*A*a^5*b^6 + 7*
B*a^4*b^7 - 28*A*a^3*b^8 - 2*B*a^2*b^9 + 8*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(8*B*a^9*b^2 - 20*A*a^8*b^3 - 8*B*a^7*
b^4 + 35*A*a^6*b^5 + 7*B*a^5*b^6 - 28*A*a^4*b^7 - 2*B*a^3*b^8 + 8*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (8*B*a^10*b - 20
*A*a^9*b^2 - 8*B*a^8*b^3 + 35*A*a^7*b^4 + 7*B*a^6*b^5 - 28*A*a^5*b^6 - 2*B*a^4*b^7 + 8*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c)
)*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - 3*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 -
4*B*a^7*b^5 + 16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*
cos(d*x + c)^4 + 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a
^4*b^8 + 16*A*a^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 1
6*A*a^8*b^4 + 6*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)
^2 + (B*a^12 - 4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*
b^7 + B*a^4*b^8 - 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 3*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5
+ 16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)
^4 + 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*
A*a^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4
+ 6*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12
- 4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*
b^8 - 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) - (6*A*a^12 - 24*A*a^10*b^2 + 36*A*a^8*b^4 - 24*A*a^6*
b^6 + 6*A*a^4*b^8 + (6*A*a^9*b^3 + 26*B*a^8*b^4 - 71*A*a^7*b^5 - 43*B*a^6*b^6 + 133*A*a^5*b^7 + 23*B*a^4*b^8 -
92*A*a^3*b^9 - 6*B*a^2*b^10 + 24*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(6*A*a^10*b^2 + 20*B*a^9*b^3 - 59*A*a^8*b^4 - 3
5*B*a^7*b^5 + 110*A*a^6*b^6 + 20*B*a^5*b^7 - 77*A*a^4*b^8 - 5*B*a^3*b^9 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (18*
A*a^11*b + 36*B*a^10*b^2 - 132*A*a^9*b^3 - 68*B*a^8*b^4 + 239*A*a^7*b^5 + 43*B*a^6*b^6 - 169*A*a^5*b^7 - 11*B*
a^4*b^8 + 44*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13*b^3 - 4*a^11*b^5 + 6*a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + a^5*b^11
)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + a^6*b^10)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^15*
b - 4*a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + a^7*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^16 - 4*a^14*b^2 + 6*a^12*b^4 - 4*a^10
*b^6 + a^8*b^8)*d*cos(d*x + c))]

Sympy [F]

\[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\int \frac {\left (A + B \cos {\left (c + d x \right )}\right ) \sec ^{2}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \cos {\left (c + d x \right )}\right )^{4}}\, dx \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)**2/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Integral((A + B*cos(c + d*x))*sec(c + d*x)**2/(a + b*cos(c + d*x))**4, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 996 vs. \(2 (402) = 804\).

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 996, normalized size of antiderivative = 2.37 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/3*(3*(8*B*a^7*b - 20*A*a^6*b^2 - 8*B*a^5*b^3 + 35*A*a^4*b^4 + 7*B*a^3*b^5 - 28*A*a^2*b^6 - 2*B*a*b^7 + 8*A*b
^8)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*
c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^11 - 3*a^9*b^2 + 3*a^7*b^4 - a^5*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)) + (36*B*a^7*b^2*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^5 - 60*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 60*B*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 105*A*a^5*b^4*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)^5 - 6*B*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 24*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 45*B*a^4*b^5*tan(1
/2*d*x + 1/2*c)^5 - 117*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*B*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 24*A*a^2*b^7*t
an(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 15*B*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 42*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*B*a*b^8*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 72*B*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 120*A*a^6*b^3*t
an(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 116*B*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 236*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 56*B*a^3
*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 152*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 12*B*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*A*
b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*B*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 60*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*B*a^6*
b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 105*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*B*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 24*A*a^4*b^
5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 45*B*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 117*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*B*a^3*b^6*
tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 24*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 15*B*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 42*A*a*b^8*tan(
1/2*d*x + 1/2*c) + 6*B*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 18*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^10 - 3*a^8*b^2 + 3*a^6*
b^4 - a^4*b^6)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3) + 3*(B*a - 4*A*b)*log(abs(tan(
1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^5 - 3*(B*a - 4*A*b)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^5 - 6*A*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - 1)*a^4))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 25.79 (sec) , antiderivative size = 13119, normalized size of antiderivative = 31.24 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + B*cos(c + d*x))/(cos(c + d*x)^2*(a + b*cos(c + d*x))^4),x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(18*A*a^8 + 72*A*b^8 - 236*A*a^2*b^6 + 47*A*a^3*b^5 + 273*A*a^4*b^4 - 60*A*a^5*b^3 - 72
*A*a^6*b^2 + 3*B*a^2*b^6 + 59*B*a^3*b^5 - 14*B*a^4*b^4 - 96*B*a^5*b^3 + 36*B*a^6*b^2 - 12*A*a*b^7 - 18*B*a*b^7
))/(3*a^4*(a + b)^2*(a - b)^3) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(24*A*a^2*b^5 - 8*A*b^7 - 2*A*a^7 - 11*A*a^3*b^4 - 26*A
*a^4*b^3 + 6*A*a^5*b^2 - B*a^2*b^5 - 6*B*a^3*b^4 + 4*B*a^4*b^3 + 12*B*a^5*b^2 + 4*A*a*b^6 + 2*A*a^6*b + 2*B*a*
b^6))/(a^4*(a + b)^3*(a - b)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(18*A*a^8 + 72*A*b^8 - 236*A*a^2*b^6 - 47*A*a^3*b^5 + 27
3*A*a^4*b^4 + 60*A*a^5*b^3 - 72*A*a^6*b^2 - 3*B*a^2*b^6 + 59*B*a^3*b^5 + 14*B*a^4*b^4 - 96*B*a^5*b^3 - 36*B*a^
6*b^2 + 12*A*a*b^7 - 18*B*a*b^7))/(3*a^4*(a + b)^3*(a - b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*A*a^7 - 8*A*b^7 + 24*A*
a^2*b^5 + 11*A*a^3*b^4 - 26*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2 + B*a^2*b^5 - 6*B*a^3*b^4 - 4*B*a^4*b^3 + 12*B*a^5*b^2 - 4
*A*a*b^6 + 2*A*a^6*b + 2*B*a*b^6))/(a^4*(a + b)*(a - b)^3))/(d*(3*a*b^2 + 3*a^2*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a^
2*b - 6*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(6*a*b^2 - 2*a^3 + 4*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(2*a^3 - 6*a*b^2 + 4*b^3)
+ a^3 + b^3 - tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3))) + (atan((((((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24
+ 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A
*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2
- 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17
*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^2
3*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b
^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*
a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^1
8*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*
a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^
5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*
A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8
- 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b
^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9
- 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3
+ 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 94
8*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6
+ 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b
^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^
2))*(4*A*b - B*a)*1i)/a^5 - ((((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12
+ 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A
*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 -
14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b
^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^
14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (8*ta
n(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*
b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 -
8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 +
10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^1
6 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^1
1 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^
11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b
^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*
b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b +
64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^
9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^1
3*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^
13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))*(4*A*b - B*a)*1i)/a^5)/(((((4*A*b - B*a)*((8*(4
*B*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9
- 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a
^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 11
0*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b -
16*B*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 1
0*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a^23*b - 8*a^10*b
^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 -
120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b
^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^
2))))/a^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^1
4 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2
*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^
2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*
a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a
^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b
^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a
^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11
- a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5
*a^17*b^2))*(4*A*b - B*a))/a^5 - (16*(256*A^3*b^16 - 128*A^3*a*b^15 - 16*B^3*a^15*b - 1664*A^3*a^2*b^14 + 800*
A^3*a^3*b^13 + 4576*A^3*a^4*b^12 - 2176*A^3*a^5*b^11 - 6944*A^3*a^6*b^10 + 3204*A^3*a^7*b^9 + 6176*A^3*a^8*b^8
- 2560*A^3*a^9*b^7 - 3040*A^3*a^10*b^6 + 960*A^3*a^11*b^5 + 640*A^3*a^12*b^4 - 4*B^3*a^3*b^13 + 2*B^3*a^4*b^1
2 + 26*B^3*a^5*b^11 - 11*B^3*a^6*b^10 - 70*B^3*a^7*b^9 + 34*B^3*a^8*b^8 + 110*B^3*a^9*b^7 - 66*B^3*a^10*b^6 -
110*B^3*a^11*b^5 + 64*B^3*a^12*b^4 + 64*B^3*a^13*b^3 - 48*B^3*a^14*b^2 - 192*A^2*B*a*b^15 + 48*A*B^2*a^2*b^14
- 24*A*B^2*a^3*b^13 - 312*A*B^2*a^4*b^12 + 138*A*B^2*a^5*b^11 + 846*A*B^2*a^6*b^10 - 408*A*B^2*a^7*b^9 - 1314*
A*B^2*a^8*b^8 + 726*A*B^2*a^9*b^7 + 1266*A*B^2*a^10*b^6 - 690*A*B^2*a^11*b^5 - 702*A*B^2*a^12*b^4 + 408*A*B^2*
a^13*b^3 + 168*A*B^2*a^14*b^2 + 96*A^2*B*a^2*b^14 + 1248*A^2*B*a^3*b^13 - 576*A^2*B*a^4*b^12 - 3408*A^2*B*a^5*
b^11 + 1632*A^2*B*a^6*b^10 + 5232*A^2*B*a^7*b^9 - 2649*A^2*B*a^8*b^8 - 4848*A^2*B*a^9*b^7 + 2376*A^2*B*a^10*b^
6 + 2544*A^2*B*a^11*b^5 - 1104*A^2*B*a^12*b^4 - 576*A^2*B*a^13*b^3))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 +
5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (
(((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14
*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 +
72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^
9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^2
2*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16
*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a
)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^1
6*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a
^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 -
5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^
15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*
A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 12
8*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B
^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B
^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^
3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A
*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^
18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^1
5*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))*(4*A*b - B*a))/a^5))*(4*A*b - B*a)*2i)/(a^5*d) + (b*atan(((b*((8*tan(c/2 + (
d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 192
0*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^
7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^1
4 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8
+ 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2
- 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 9
60*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5
- 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 +
5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (b*(-(a + b)^
7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*B*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a
^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4
+ 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15
*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*
a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a
^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a +
b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*
b - 2*B*a*b^6)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*
b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a
^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^
19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5
*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*
a^6*b - 2*B*a*b^6))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 -
7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8
*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6)*1i)/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^1
3*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8
*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10
+ 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b
^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11
+ 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5
- 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384
*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 -
1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^
2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 +
10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) + (b*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*B*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A
*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17
*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*
a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 -
110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b))/(a^22*b + a^23 -
a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a
^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5
+ 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 +
48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*
a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8
- 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10
*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2
*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 -
21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 +
8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6)*1i)/(2*(a^19 - a^5
*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))/((16*(256*A^3*b^16
- 128*A^3*a*b^15 - 16*B^3*a^15*b - 1664*A^3*a^2*b^14 + 800*A^3*a^3*b^13 + 4576*A^3*a^4*b^12 - 2176*A^3*a^5*b^1
1 - 6944*A^3*a^6*b^10 + 3204*A^3*a^7*b^9 + 6176*A^3*a^8*b^8 - 2560*A^3*a^9*b^7 - 3040*A^3*a^10*b^6 + 960*A^3*a
^11*b^5 + 640*A^3*a^12*b^4 - 4*B^3*a^3*b^13 + 2*B^3*a^4*b^12 + 26*B^3*a^5*b^11 - 11*B^3*a^6*b^10 - 70*B^3*a^7*
b^9 + 34*B^3*a^8*b^8 + 110*B^3*a^9*b^7 - 66*B^3*a^10*b^6 - 110*B^3*a^11*b^5 + 64*B^3*a^12*b^4 + 64*B^3*a^13*b^
3 - 48*B^3*a^14*b^2 - 192*A^2*B*a*b^15 + 48*A*B^2*a^2*b^14 - 24*A*B^2*a^3*b^13 - 312*A*B^2*a^4*b^12 + 138*A*B^
2*a^5*b^11 + 846*A*B^2*a^6*b^10 - 408*A*B^2*a^7*b^9 - 1314*A*B^2*a^8*b^8 + 726*A*B^2*a^9*b^7 + 1266*A*B^2*a^10
*b^6 - 690*A*B^2*a^11*b^5 - 702*A*B^2*a^12*b^4 + 408*A*B^2*a^13*b^3 + 168*A*B^2*a^14*b^2 + 96*A^2*B*a^2*b^14 +
1248*A^2*B*a^3*b^13 - 576*A^2*B*a^4*b^12 - 3408*A^2*B*a^5*b^11 + 1632*A^2*B*a^6*b^10 + 5232*A^2*B*a^7*b^9 - 2
649*A^2*B*a^8*b^8 - 4848*A^2*B*a^9*b^7 + 2376*A^2*B*a^10*b^6 + 2544*A^2*B*a^11*b^5 - 1104*A^2*B*a^12*b^4 - 576
*A^2*B*a^13*b^3))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6
+ 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16
- 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11
- 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^1
1*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^
12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b
^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b +
64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9
- 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13
*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^1
3*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (b*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*B*a^24 +
16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*
a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 -
4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*
b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23
*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^
5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8
*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6)*(8*a^23*b - 8*a^10*
b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7
- 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a
^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*
b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(8*A*b^7
+ 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6))/(2*(a^19 - a^5
*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)
^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^
6))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)) -
(b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*
A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8
- 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b
^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9
- 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3
+ 44*B^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 94
8*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6
+ 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b
^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^
2) + (b*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*B*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a
^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^
5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^1
4*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*
B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 +
5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (4*b*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a
^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^1
4*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3
- 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17
*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5
+ 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8
*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b
^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2*b^5 + 35*A*a^4*b^3
+ 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^
11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2))))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^7 + 8*B*a^7 - 28*A*a^2
*b^5 + 35*A*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 8*B*a^5*b^2 - 20*A*a^6*b - 2*B*a*b^6)*1i)/(d*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12
- 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2))